Polinomios
Un monomio es
una expresión algebraica conformada por un coeficiente,
una variable (generalmente x) y un exponente, por
ejemplo:
Un polinomio es
una expresión algebraica formada por la suma de un número finito de monomios
Ejemplo
Grado de un
Polinomio
El grado de un polinomio P(x)
es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x
Según su grado los polinomios pueden ser de:
Tipos de polinomios
Polinomio Nulo
Es aquel polinomio que tiene
todos sus coeficientes nulos.
Es aquel polinomio en el que todos sus términos o monomios son del mismo grado.
Polinomio Heterogéneo
Es aquel polinomio en el que
no todos sus términos no son del mismo grado.
Polinomio Completo
Es aquel polinomio que tiene
todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor
grado.
Polinomio Incompleto
Es aquel polinomio que no tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.
Polinomio Ordenado
Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.
Polinomios Iguales
Dos polinomios son iguales si verifican:
Los dos polinomios tienen el
mismo grado.
Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.
Polinomios Semejantes
Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal.
Polinomio Mónico
Un polinomio es Mónico si su
coeficiente principal es 1, por ejemplo
Monomio
Es
un polinomio que consta de un sólo monomio.
Binomio
Es
un polinomio que consta de dos monomios.
Trinomio
Es
un polinomio que consta de tres monomios.
Valor numérico de un polinomio
El valor numérico de un
polinomio es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un
número cualquiera.
Ejemplo:
Polinomio de varias variables
Un polinomio puede tener varias variables. En este caso, los monomios, de manera análoga, cuenta con un coeficiente y varias variables cada una con un respectivo exponente. Por ejemplo
Ejemplos:
También se puede obtener el valor numérico de estos
Suma de Polinomios
Para realizar la suma de dos o más polinomios, se deben
sumar los coeficientes de los términos cuya parte literal sean iguales, es
decir, las variables y exponentes (o grados) deben ser los mismos en los términos
a sumar.
Método 1 para sumar polinomios
Pasos:
1. Ordenar los polinomios del término de mayor grado
al de menor.
2. Agrupar los monomios del mismo grado.
3. Sumar los monomios semejantes.
Ejemplo del primer método para sumar
polinomios
Sumar los polinomios
1. Ordenamos los polinomios, si no lo están.
2. Agrupamos los monomios del mismo grado.
3.
Sumamos los monomios
semejantes.
Método 2 para sumar polinomios
También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo
del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan
sumar.
Ejemplo del segundo método para sumar
polinomios
Sumar los polinomios
1Acomodar en columnas a los términos de mayor a menor
grado, y sumar.
Así,
Resta de polinomios
La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el
opuesto del sustraendo.
Ejemplo de resta de polinomios
1 Obtenemos el opuesto al sustraendo de
2 Agrupamos.
Multiplicación de Polinomios
1. Multiplicación de un número por un polinomio
La multiplicación de un número por un polinomio es otro polinomio. El polinomio que se obtiene tiene el mismo grado del polinomio inicial. Los coeficientes del polinomio que resulta son el producto de los coeficientes del polinomio inicial, por el número y dejando las mismas partes literales.
2. Multiplicación de un monomio por un polinomio
En la multiplicación de un monomio por un polinomio se
multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el
polinomio.
Hay que recordar que primero debemos multiplicar signos,
posteriormente multiplicar los monomios correspondientes, para lo cual, se debe
multiplicar los coeficientes, y luego, realizar la multiplicación de la parte
literal, en donde, al multiplicar variables iguales los exponentes se sumarán.
Ejemplo:
3. Multiplicación de polinomios
Este tipo de operaciones se puede llevar a cabo de dos
formas distintas.
Método 1 para multiplicar
polinomios
Pasos:
1 Se multiplica cada monomio del primer polinomio por
todos los elementos del segundo polinomio.
2 Se suman los monomios del mismo grado, obteniendo
otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se
multiplican.
Ejemplo:
Multiplicar los siguientes polinomios
1Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo polinomio.
2Se suman los monomios del mismo grado.
3Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados
de los polinomios que se multiplican.
Método 2 para multiplicar
polinomios
También podemos multiplicar polinomios escribiendo un
polinomio debajo del otro. En cada fila se multiplica cada uno de los monomios
del segundo polinomio por todos los monomios del primer polinomio. Se colocan
los monomios semejantes en la misma columna y posteriormente se suman los
monomios semejantes.
Ejemplo:
Multiplicar los siguientes polinomios
Como la multiplicación de polinomios cumple la propiedad
conmutativa, hemos tomado como polinomio multiplicador el polinomio más
sencillo.
División de polinomios
Abordaremos la explicación con un ejemplo.
Ejemplo:
Resolver la división de los polinomios
P(x) : Q(x)
1. A la izquierda situamos el dividendo. Si el
polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que
correspondan.
2. A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
3. Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer
monomio del divisor.
4. Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el
resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:
5. Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre
el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y
lo restamos al dividendo.
obteniendo
6.
Procedemos igual que antes. Y
esta vez
entonces
7.
Como en los pasos anteriores,
dividimos 8x² por x², y obtenemos 8. Multiplicamos por 8 cada término del
divisor y obtenemos:
Procedemos con la resta:
Concluimos que 10x −
16 es el resto, porque su grado es
menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar
dividiendo. Y el cociente es x³+2x²+5x+8
Ahora veamos un video sobre polinomios.
Valor numérico de un polinomio
Valor numérico de un polinomio
Suma y resta de polinomios
Multiplicación de polinomios
Multiplicación monomio por polinomio
División de polinomios
